Помню, как в десятом классе аспирант Московского энергетического института познакомил меня с постулатами геометрии на шаре. Оказалось, что на шаре (сфере) параллельные прямые вдруг пересекаются. И, достаточно, много других любопытных наблюдений, которые расширяют кругозор.

Еще Козьма Прутков писал:

Всякая вещь есть форма проявления беспредельного разнообразия

Сегодня на практическом кейсе «Москва — Владивосток» длительностью 6416 километров в течение восьми с половиной часов попытаюсь проверить основные постулаты сферической геометрии.

Основные постулаты и особенности сферической геометрии

Прямые — большие окружности. Кратчайшими (геодезическими) линиями на сфере являются большие окружности — окружности, плоскости которых проходят через центр сферы. Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг.

Отсутствие понятия параллельности. Две различные прямые (большие окружности) всегда имеют ровно две общие точки — диаметрально противоположные. Через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной ей.

Замкнутость прямых. Сферическая прямая замкнута: двигаясь по ней в одном и том же направлении, можно вернуться в исходную точку.

Сумма углов треугольника. В сферической геометрии сумма углов треугольника всегда больше 180° (двух прямых). Разница между суммой углов треугольника и 180° пропорциональна площади треугольника и называется сферическим избытком. Например, можно построить треугольник с тремя прямыми углами, если одна вершина находится на северном полюсе, а две другие — на экваторе.

Неравенство треугольника. Для любой точки D вне отрезка AB сумма сферических расстояний от D до A и от D до B больше AB. Это означает, что сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.

Равенство треугольников. В сферической геометрии выполняется четвёртый признак равенства треугольников — по трём углам. Сферический треугольник полностью определяется своими углами.

Отсутствие подобных треугольников. В сферической геометрии не бывает подобных, но не равных треугольников, так как не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз.

Сравнение с евклидовой геометрией

В качестве резюме еще из Козьмы Пруткова на тему проектных ограничений:

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий